Riešenie 6

Riešenie

 

1. A) Zistenie veľkosti pretlaku

Na zistenie veľkosti pretlaku v U-trubici použijeme vzťah

p = r  g h                                                                                                            (1)

kde

p   je neznámy pretlak,

r   je hustota tlakomernej kvapaliny,

g   je miestne gravitačné zrýchlenie,

h   je rozdiel hladín tlakomernej kvapaliny v obidvoch ramenách U-trubice

Hodnotu hustoty tlakomernej kvapaliny (ortute) a štandartnú hodnotu gravitačného zrýchlenia získame z tabuliek. Potrebujeme zistiť odhad výšky rozdielov hladín ortute v obidvoch ramenách U-trubice.

Keďže sme meranie rozdielu hladín h_i opakovali desaťkrát (i = 1, 2, …, 10), ako odhad rozdielu hladín môžeme využiť aritmetický priemer z nameraných hodnôt:

(2)

mm

Vo vzťahu (1) teda použijeme odhad rozdielu hladín

Máme k dispozícii tabuľkovú hodnotu hustoty ortute pri 0 °C, čo je hodnota r₀ = 13 595 kg/m³. Keďže meriame pri teplote 30 °C, dopúšťame sa určitej systematickej chyby, ktorú zahrnieme do výpočtu neistôt. Podobne predpokladáme, že pri výpočte použijeme štandardnú hodnotu gravitačného zrýchlenia g = 9,80665 m/s², ktorá ale platí na 45° severnej zemepisnej šírky. Keďže meriame na 65 ° severnej zemepisnej šírky, aj túto systematickú chybu ohodnotíme v rámci neistôt.

Dosadením do vzťahu (1) získame odhad pretlaku p

p = r  g

p = 13595×9,80665×0,1098 =  14638,69 Pa = 14,6389 kPa

1. B) Výpočet neistoty odhadu pretlaku

Najskôr vytipujeme jednotlivé zdroje neistôt:

1) keďže sme desaťkrát opakovali meranie rozdiely výšok hladín, variabilitu nameraných údajov môžeme ohodnotiť neistotou vypočítanou metódou typu A,

2)  dovolená chyba meradla rozdielu výšok hladín,

3)  rozdiel v hustote tlakomernej kvapaliny pri 0 °C a 30 °C,

4)  rozdiel v použitej hodnote gravitačného zrýchlenia na 45° a 65° severnej zemepisnej šírky.

Ak predpokladáme, že veličiny výška hladiny, hustota ortuti a gravitačné zrýchlenie nie sú korelované, neistotu odhadu pretlaku p vypočítame podľa vzťahu:

(3)

kde prevodové koeficienty A_i sa vypočítajú podľa vzťahu

(4)

Pre náš konkrétny prípad bude mať vzťah (3) tvar:

(5)

Získame konkrétne hodnoty prevodových koeficientov:

= 13595×9,80665 = 133321,4 Pa/m

= 0,1098×9,80665 = 1,07677 Pa/(kg/m³)

= 13595×0,1098 = 1492,731 Pa/(m/s²)

1)  Výpočet neistoty odhadu rozdielu hladín , vyhodnotenej metódou typu A:

(6)

kde

i = 1, 2, …, 10

n   je počet nameraných údajov (v našom prípade n = 10),

h_i sú hodnoty nameraných údajov z tabuľky 1,

je aritmetický priemer, vypočítaný podľa vzťahu (2).

Potom neistota odhadu rozdielu hladín, vyhodnotená metódou typu A, je

2)  Výpočet neistoty merania, vyplývajúcej z dovolenej chyby meradla rozdielu hladín, vyhodnotenej metódou typu B:

Ak predpokladáme rovnomerné rozloženie pravdepodobnosti, neistota meradla rozdielu hladín, vyhodnotená metódou typu B, je

m

kde

D_max je najväčšia dovolená chyba meradla rozdielu výšky hladín (v našom prípade D_max = 0,1 mm).

3)  Výpočet neistoty merania, vyplývajúcej zo zmenenej hustoty tlakomernej kvapaliny, vyhodnotenej metódou typu B:

Najskôr vypočítame rozdiel hustôt tlakomernej kvapaliny pri teplote 30 °C a pri teplote 0 °C. Hustota tlakomernej kvapaliny pri teplote t sa vypočíta podľa vzťahu

(7)

kde

r_t   je hustota tlakomernej kvapaliny pri teplote t,

r₀ je hustota tlakomernej kvapaliny pri teplote 0 °C (v našom prípade r₀ = 13 595 kg/m³ (hodnota získaná z tabuľky 9.2)),

t    je teplota tlakomernej kvapaliny (v našom prípade t = 30 °C),

A, B, C, D sú koeficienty (v našom prípade A = 0,01818; B = 0,00008; C = 0; D = 0 (hodnoty získané z tabuľky 9.2 v texte)).

Po dosadení do vzťahu (7) dostaneme hustotu tlakomernej kvapaliny (ortute) pri teplote 30 °C:

r_t = 13520, 75 kg/m³

Rozdiel hustôt tlakomernej kvapaliny pri 0 °C a pri teplote t = 30 °C je

D_r = r_t – r₀ = 13520,75 – 13595 = -74,25 kg/m³

Ak predpokladáme rovnomerné rozloženie pravdepodobnosti, neistota rozdielu hustôt tlakomernej kvapaliny je

4)  Výpočet neistoty merania, vyplývajúcej zo zmenenej hodnoty gravitačného zrýchlenia, vyhodnotenej metódou typu B:

Z tabuľky 9.3 zistíme, že gravitačné zrýchlenie na 65° severnej zemepisnej šírky má hodnotu g₆₅ = 9,82303 m/s². Ak predpokladáme rovnomerné rozloženie pravdepodobnosti, neistota gravitačného zrýchlenia je

D_g = g₆₅ – g₄₅ = 16,38×10^-3 m/s²

Celková štandardná neistota odhadu neznámeho pretlaku sa vypočíta podľa vzťahu (5). Po dosadení dostaneme

u_p = 59,12 Pa

Detailný prehľad jednotlivých zdrojov neistôt a číselné hodnoty príspevkov jednotlivých zdrojov k celkovej štandardnej neistote dohadu tlaku p uvádza tabuľka 2.

Tabuľka 2 Bilancia neistôt

Veličina	Odhad	Štandardná neistota	Aproximačné rozdelenie	Koeficient citlivosti	Príspevok k štandardnej neistote
	0,1098 m	24,94×10-5 m	normálne	133321,4 Pa/m	33,26 Pa
Dh	0 m	5,7735×10-5 m	rovnomerné	133321,4 Pa/m	7,70 Pa
r	13 595 kg/m3	-42,87 kg/m3	rovnomerné	1,077 Pa/(kg/m3)	46,16 Pa
g	9,80665 m/s2	94,57×10-4m/s2	rovnomerné	1492,73 Pa/(m/s2)	14,12 Pa
p	14638,69 Pa				59,12 Pa

 

Rozšírená neistota výsledku

U_p = k×u_p                                                                                                             (8)

kde

k   je koeficient rozšírenia (v našom prípade k = 3)

Rozšírená neistota

U_p  = 3×59,12 = 177,36 Pa

Výsledok

Výsledok merania neznámeho pretlaku je

p = (14638,69 ± 177,36) Pa

kde číslo nasledujúce po značke ± predstavuje číselnú hodnotu rozšírenej neistoty U_p = k×u_p, pričom neistota U_p sa určila z celkovej (kombinovanej) štandardnej neistoty u_p = 59,12 Pa a koeficientu rozšírenia k = 3, založeného na rozdelení t pre n = 9 stupňov voľnosti a definuje interval, ktorý má odhadovanú konfidenčnú hladinu 99,73 %.